어느 과고생의 끄적임

Some authors define $y=\sec^{-1}x \Leftrightarrow \sec y=x$ and $y \in \Bigl[\left[0, {{\pi} \over {2}}\right) \cup \left({{\pi} \over {2}}, \pi \right]\Bigr]$.

Show that with this definition we have

$${{d} \over {dx}}\left(\sec^{-1}x\right)= {{1} \over {|x|\sqrt{x^2-1}}}, |x| \gt 1$$

Sol)

Let $y=\sec^{-1}x$ where $|x| \gt 1$

Then,

$ y=\sec^{-1}x$ 

$\implies x=\sec y$ 

$\implies {{dx} \over {dy}}= \sec y \tan y \rightarrow \sec y \tan y={{\sin y} \over {\cos^2 y}} \rightarrow$ 위에 주어진 범위에서 $\sin y \gt 0$       $\therefore \sec y \tan y \gt 0$ 

$\implies {{dy} \over {dx}} = {{1} \over {\sec y \tan y}}$ 

$\implies \left({{dy} \over {dx}}\right)^2 = {{1} \over {\sec^2 y \tan^2 y}} = {{1} \over {\sec^2 y \left(\sec^2-1\right)}}={{1} \over {x^2 \left(x^2-1\right)}}$

$\implies \left|{{dy} \over {dx}}\right|={{1} \over {|x| \sqrt{x^2-1}}}$

$$\therefore {{d} \over {dx}}\left(\sec^{-1}x\right)= {{1} \over {|x|\sqrt{x^2-1}}}, |x| \gt 1$$

The rate of change of atmospheric pressure $P$ with respect to altitude $h$ is proportional to $P$, provided that the temperature is constant. At 15℃ the pressure is $101.3 kPa$ at sea level and $87.14 kPa$ at $h = 1000m$.

Sol)

$h$에 따른 $P$의 변화율은 $P$에 비례한다.

따라서 $${{dP} \over{dh}} =kP$$라 할 수 있다.

이를 변수분리해서 나타내면 ${{1} \over{P}}dP = k dh$가 되고, 각변을 적분하여 정리하면,

$$\ln{P}=kh+C_1$$ $$P=e^{kh+C_1}=Ce^{kh}$$ $$\therefore P=Ce^{kh}$$

여기서 주어진 값인 $h=0m$일 때의 값과, $h=1000m$일 때의 값을 각각 대입하면 $C$와 $k$의 값을 구할 수 있다.

$h=0m$일 때 $P=101.3kPa \Rightarrow C=101.3$

$h=1000m$일 때 $P=87.14kPa \Rightarrow 87.14 = 101.3e^{1000 \cdot k}$

$$\therefore k=-0.00015057$$

$$\therefore P=101.3e^{-0.00015057h}$$

          $(a)$     $P_{3000m}=101.3e^{-0.00015057 \cdot \left(3000\right)} \approx 64.4814 kPa$

          $(b)$     $P_{6187m}=101.3e^{-0.00015057 \cdot \left(6187\right)} \approx 39.9053 kPa$

If $f$ is one-to-one. twice differentiable function with inverse function $g$, find $g''$

sol)

역함수의 미분법 공식에 의하여

$$g'(x)=\frac{1}{f'\bigl(g(x)\bigr)}$$

이를 한번 더 미분하면,

$$g''(x)=\frac{-f''\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)}{\left\{f'\bigl(g(x)\bigr)\right\}^2}$$

여기서 $g'(x)$를 넣고 정리하자.

$$g''(x)=\frac{-f''\bigl(g(x)\bigr)}{\left\{f'\bigl(g(x)\bigr)\right\}^3}$$

이렇게 우리는 두 번 미분가능한 함수 $f(x)$의 n계도함수들과 $f(x)$의 역함수 $g(x)$로만 표현된 $g''(x)$식을 얻어냈다.