미적분학(Calculus) 잡다한 문제 5

If $f$ is one-to-one. twice differentiable function with inverse function $g$, find $g''$

sol)

역함수의 미분법 공식에 의하여

$$g'(x)=\frac{1}{f'\bigl(g(x)\bigr)}$$

이를 한번 더 미분하면,

$$g''(x)=\frac{-f''\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)}{\left\{f'\bigl(g(x)\bigr)\right\}^2}$$

여기서 $g'(x)$를 넣고 정리하자.

$$g''(x)=\frac{-f''\bigl(g(x)\bigr)}{\left\{f'\bigl(g(x)\bigr)\right\}^3}$$

이렇게 우리는 두 번 미분가능한 함수 $f(x)$의 n계도함수들과 $f(x)$의 역함수 $g(x)$로만 표현된 $g''(x)$식을 얻어냈다.