Calculus Quiz 1

The rate of change of atmospheric pressure $P$ with respect to altitude $h$ is proportional to $P$, provided that the temperature is constant. At 15℃ the pressure is $101.3 kPa$ at sea level and $87.14 kPa$ at $h = 1000m$.

Sol)

$h$에 따른 $P$의 변화율은 $P$에 비례한다.

따라서 $${{dP} \over{dh}} =kP$$ 라 할 수 있다.

이를 변수분리해서 나타내면 ${{1} \over{P}}dP = k dh$가 되고, 각변을 적분하여 정리하면,

$$\ln{P}=kh+C_1$$ $$P=e^{kh+C_1}=Ce^{kh}$$ $$\therefore P=Ce^{kh}$$

여기서 주어진 값인 $h=0m$일 때의 값과, $h=1000m$일 때의 값을 각각 대입하면 $C$와 $k$의 값을 구할 수 있다.

$h=0m$일 때 $P=101.3kPa \Rightarrow C=101.3$

$h=1000m$일 때 $P=87.14kPa \Rightarrow 87.14 = 101.3e^{1000 \cdot k}$

$$\therefore k=-0.00015057$$

$$\therefore P=101.3e^{-0.00015057h}$$

          $(a)$     $P_{3000m}=101.3e^{-0.00015057 \cdot \left(3000\right)} \approx 64.4814 kPa$

          $(b)$     $P_{6187m}=101.3e^{-0.00015057 \cdot \left(6187\right)} \approx 39.9053 kPa$