어느 과고생의 끄적임

A function $f$ is defined by

$$f(x) = \int^{\pi}_0 \cos t \cos (x-t) dt$$

Find the minimum value of  $f$

Sol)

먼저, 정적분으로 정의된 함수인 $f(x)$를 간단하게 표현하자. (삼각함수의 곱을 덧셈으로 바꾸는 공식을 이용하자.)

$$\int^{\pi}_0 \cos t \cos (x-t) dt = \frac{1}{2}\int^{\pi}_0 \cos (2t-x) + \cos x dt = \frac{1}{2}\int^{\pi}_0 \cos (2t-x) dt + \frac{\cos x}{2}\int^{\pi}_0 dt$$

여기서 $2t-x=u$로 치환하면, $du=2dt$가 된다. (정적분의 범위에 주의하자.)

$$\frac{1}{4}\int^{2\pi-x}_{-x} \cos u du + \frac{\cos x}{2}\int^{\pi}_0 dt = \left[\frac{\sin u}{4}\right]^{2\pi-x}_{-x} + \frac{\cos x}{2}\Bigl[t\Bigr]^{\pi}_0=\frac{\pi}{2} \cos x$$

다음으로 $f'(x)=-\frac{\pi}{2} \sin x$의 값이 0이 되는 x값을 찾으면, $0,\,\pi\,2\pi$가 있다.

여기서 $f(x)$에 위 $x$값을 대입해 비교하면 $x=\pi$일 때, $-\frac{\pi}{2}$라는 최솟값을 가지게 된다. 

(범위의 양 끝값이 극점에 해당하므로 따로 고려하지 않아도 된다.)

Evaluate the integrals

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-9}}dx$$

Sol)

$x=3\sec t$로 치환하면, $dx=3\tan t \sec t dt$이고, $\sqrt{x^2-9}=\sqrt{9\sec^2 t -9}=3\tan t$가 됨을 알 수 있다. 

$$\therefore \int \frac{1}{\sqrt{x^2-9}}dx=\int \sec t dt$$

여기서 $\int \sec t dt = \ln(\tan t + \sec t) + C$이므로

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-9}}dx = \ln(\tan t + \sec t) + C$$

Evaluate the integrals

$$\int \frac{{\mathrm{sech}}^2 x}{2+\tanh x} dx$$

Sol)

$2+\tanh x=t$로 치환하면, ${\mathrm{sech}}^2 x \, dx=dt$

$$\int \frac{{\mathrm{sech}}^2 x}{2+\tanh x} dx = \int\frac{1}{t} dt = \ln t +C$$

$$\therefore \int \frac{{\mathrm{sech}}^2 x}{2+\tanh x} dx = \ln{\left(\tanh x +2 \right)} + C$$