Calculus Quiz 4

Show that, for $x \gt 0$

$$\frac{x}{1+x^2} \lt \tan^{-1} x \lt x$$

Sol)

Mean Value Theorem에 의하여 $\bigl[0,x\bigr]$에서 $f(x)=\tan^{-1} x$라고 정의할 때, $0 \gt c \gt x$인 어떤 $c$가 존재하여 다음을 만족한다.

$$\frac{\tan^{-1} x-  \tan^{-1} 0}{x-0}=\frac{1}{1+c^2}\; \cdots (1)$$

여기서 $x \gt c$, $x \gt 0$일 때,

$$\frac{x}{1+x^2} \lt \frac{x}{1+c^2} \lt x\; \cdots (2)$$

식 (1)과 (2)에 의하여

$$\frac{x}{1+x^2} \lt \tan^{-1} x \lt x$$