A function $f$ is defined by
$$f(x) = \int^{\pi}_0 \cos t \cos (x-t) dt$$
Find the minimum value of $f$
Sol)
먼저, 정적분으로 정의된 함수인 $f(x)$를 간단하게 표현하자. (삼각함수의 곱을 덧셈으로 바꾸는 공식을 이용하자.)
$$\int^{\pi}_0 \cos t \cos (x-t) dt = \frac{1}{2}\int^{\pi}_0 \cos (2t-x) + \cos x dt = \frac{1}{2}\int^{\pi}_0 \cos (2t-x) dt + \frac{\cos x}{2}\int^{\pi}_0 dt$$
여기서 $2t-x=u$로 치환하면, $du=2dt$가 된다. (정적분의 범위에 주의하자.)
$$\frac{1}{4}\int^{2\pi-x}_{-x} \cos u du + \frac{\cos x}{2}\int^{\pi}_0 dt = \left[\frac{\sin u}{4}\right]^{2\pi-x}_{-x} + \frac{\cos x}{2}\Bigl[t\Bigr]^{\pi}_0=\frac{\pi}{2} \cos x$$
다음으로 $f'(x)=-\frac{\pi}{2} \sin x$의 값이 0이 되는 x값을 찾으면, $0,\,\pi\,2\pi$가 있다.
여기서 $f(x)$에 위 $x$값을 대입해 비교하면 $x=\pi$일 때, $-\frac{\pi}{2}$라는 최솟값을 가지게 된다.
(범위의 양 끝값이 극점에 해당하므로 따로 고려하지 않아도 된다.)
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