어느 과고생의 끄적임

A rectangle $R$ of length $l$ and width $w$ is revolved about the line L. Find the volume of the resulting solid of revolution.

sol) 

파푸스-굴딘 정리를 이용한다.

$$V=2\pi hS \, \text{(단,} \,h=\text{축까지의 거리}\, S=\text{도형의 넓이)}$$

먼저, 직사각형이므로 무게중심은 두 대각선의 교점이다. 따라서 $h$는 $d$+(대각선 길이의 절반)이다.

$$\text{대각선의 길이}=\sqrt{l^2+w^2}$$

$$\therefore \; h=d+\frac{\sqrt{l^2+w^2}}{2}$$

또한 넓이 $S$는 간단하게 $lw$이다.

$$\therefore \; V=2\pi hS=2\pi \left(d+\frac{\sqrt{l^2+w^2}}{2}\right)\cdot lw=\left(\sqrt{l^2+w^2}+2d\right)lw \pi$$

If $f$ is a quadratic function such that $f(0)=1$ and

$$\int{\frac{f(x)}{x^2(x+1)^3}}dx$$

is a rational function, find the value of $f'(0)$

sol)

$f(0)=1$이고, $f(x)$가 2차식이므로 $f(x)=ax^2+bx+1$로 표현할 수 있으며, 우리가 구해야하는 $f'(0)$ 값이 $b$와 같음도 알 수 있다.

먼저 유리함수의 적분을 하기 위해 Partial Fraction Decomposition을 하자.

$$\frac{f(x)}{x^2(x+1)^3}=\frac{ax^2+bx+1}{x^2(x+1)^3}=\frac{a-b+1}{(x+1)^3}+\frac{2-b}{(x+1)^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{3-b}{x+1}+\frac{b-3}{x}$$

이를 적분하면 아래와 같다.

$$\int{\frac{f(x)}{x^2(x+1)^3}}dx=\frac{-a+b-1}{2(x+1)^2}+\frac{b-2}{x+1}-\frac{1}{x}+(b-3)\ln\vert{x}\vert-(b-3)\ln\vert{x+1}\vert+C$$

이때, $\int{\frac{f(x)}{x^2(x+1)^3}}dx$가 유리함수라고 하였으므로, $\ln$항이 존재해서는 안된다.

$$(b-3)\ln\vert{x}\vert-(b-3)\ln\vert{x+1}\vert=(b-3)\{\ln\vert{x}\vert-\ln\vert{x+1}\vert\}=0$$

$$\therefore \; b=3$$

Find the value of the constant $C$ for which the integral

$$\int^{\infty}_0 \left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{C}{3x+1}\right)dx$$

converges. Evaluate the integral for value of $C$

Sol)

$$\lim_{t \to \infty} \int^t_0 \left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{C}{3x+1}\right)dx$$

$$=\lim_{t \to \infty} \left(\int^t_0 \frac{x}{x^2+1}dx-\int^t_0 \frac{C}{3x+1}dx\right)$$

$$=\lim_{t \to \infty} \left\{\left[\frac{1}{2}\ln\vert{x^2+1}\vert\right]^t_0-\left[\frac{C}{3}\ln\vert{3x+1}\vert\right]^t_0\right\}$$

$$=\lim_{t \to \infty} \left\{\frac{1}{2}\ln(t^2+1)-\frac{C}{3}\ln(3t+1)\right\}$$

$$=\lim_{t \to \infty} \left\{\ln{(t^2+1)^\frac{1}{2}}-\ln{(3t+1)^\frac{C}{3}}\right\}$$

$$=\lim_{t \to \infty} \left\{\ln\frac{(t^2+1)^\frac{1}{2}}{(3t+1)^\frac{C}{3}}\right\}$$

여기서 $t$가 $\infty$로 가므로 $\ln$속 분모, 분자의 최고차항의 계수가 같아야 한다.

$$2\cdot\frac{1}{2}=1\cdot\frac{c}{3}$$

$$\therefore \; C=3$$