어느 과고생의 끄적임

Show that, for $x \gt 0$

$$\frac{x}{1+x^2} \lt \tan^{-1} x \lt x$$

Sol)

Mean Value Theorem에 의하여 $\bigl[0,x\bigr]$에서 $f(x)=\tan^{-1} x$라고 정의할 때, $0 \gt c \gt x$인 어떤 $c$가 존재하여 다음을 만족한다.

$$\frac{\tan^{-1} x-  \tan^{-1} 0}{x-0}=\frac{1}{1+c^2}\; \cdots (1)$$

여기서 $x \gt c$, $x \gt 0$일 때,

$$\frac{x}{1+x^2} \lt \frac{x}{1+c^2} \lt x\; \cdots (2)$$

식 (1)과 (2)에 의하여

$$\frac{x}{1+x^2} \lt \tan^{-1} x \lt x$$

Evaluate the integrals

$$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-4}}dx$$

Sol)

$x=2\sec t$로 치환하면, $dx=2\tan t \sec t dt$이고, $\sqrt{x^2-4}=2\tan t$가 됨을 알 수 있다. 

$$\therefore \int \frac{1}{x\sqrt{x^2-4}}dx=2\int \frac{1}{4} dt = \frac{t}{2} + C$$

여기서 $t=\sec^{-1} \left(\frac{x}{2}\right)$로 나타낼 수 있으므로,

$$\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-4}}dx = \frac{1}{2}\sec^{-1} \left(\frac{x}{2}\right) + C $$

Evaluate the integrals

$$\int { {x} \over {1+x^4}} dx$$

Sol)

$x^2=t$로 치환하면, $2xdx=dt$

$$ \int { {x} \over {1+x^4}} dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{1+t^2} dt$$

여기서 $\int \frac{1}{1+t^2} dt=\tan^{-1} t + C_1$이므로

$$ \int { {x} \over {1+x^4}} dx = \frac{1}{2} tan^{-1} (x^2) + C$$