미적분학(Calculus) 잡다한 문제 3

A rectangle $R$ of length $l$ and width $w$ is revolved about the line L. Find the volume of the resulting solid of revolution.

sol) 

파푸스-굴딘 정리를 이용한다.

$$V=2\pi hS \, \text{(단,} \,h=\text{축까지의 거리}\, S=\text{도형의 넓이)}$$

먼저, 직사각형이므로 무게중심은 두 대각선의 교점이다. 따라서 $h$는 $d$+(대각선 길이의 절반)이다.

$$\text{대각선의 길이}=\sqrt{l^2+w^2}$$

$$\therefore \; h=d+\frac{\sqrt{l^2+w^2}}{2}$$

또한 넓이 $S$는 간단하게 $lw$이다.

$$\therefore \; V=2\pi hS=2\pi \left(d+\frac{\sqrt{l^2+w^2}}{2}\right)\cdot lw=\left(\sqrt{l^2+w^2}+2d\right)lw \pi$$