미적분학(Calculus) 잡다한 문제 2

If $f$ is a quadratic function such that $f(0)=1$ and

$$\int{\frac{f(x)}{x^2(x+1)^3}}dx$$

is a rational function, find the value of $f'(0)$

sol)

$f(0)=1$이고, $f(x)$가 2차식이므로 $f(x)=ax^2+bx+1$로 표현할 수 있으며, 우리가 구해야하는 $f'(0)$ 값이 $b$와 같음도 알 수 있다.

먼저 유리함수의 적분을 하기 위해 Partial Fraction Decomposition을 하자.

$$\frac{f(x)}{x^2(x+1)^3}=\frac{ax^2+bx+1}{x^2(x+1)^3}=\frac{a-b+1}{(x+1)^3}+\frac{2-b}{(x+1)^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{3-b}{x+1}+\frac{b-3}{x}$$

이를 적분하면 아래와 같다.

$$\int{\frac{f(x)}{x^2(x+1)^3}}dx=\frac{-a+b-1}{2(x+1)^2}+\frac{b-2}{x+1}-\frac{1}{x}+(b-3)\ln\vert{x}\vert-(b-3)\ln\vert{x+1}\vert+C$$

이때, $\int{\frac{f(x)}{x^2(x+1)^3}}dx$가 유리함수라고 하였으므로, $\ln$항이 존재해서는 안된다.

$$(b-3)\ln\vert{x}\vert-(b-3)\ln\vert{x+1}\vert=(b-3)\{\ln\vert{x}\vert-\ln\vert{x+1}\vert\}=0$$

$$\therefore \; b=3$$