미적분학(Calculus) 잡다한 문제 4

Prove the identity $${\arcsin} \frac{x-1}{x+1} = 2{\arctan} \sqrt{x} - \frac{\pi}{2}$$

Proof)

$$\frac{d}{dx} \left(\arcsin \frac{x-1}{x+1}\right)=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x-1}{x+1})^2 }} \cdot  \frac{2}{(x+1)^2}= \frac{1}{\sqrt{\frac{4x}{(x+1)^2}}} \cdot \frac{2}{(x+1)^2}=\frac{x+1}{2\sqrt{x}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}=\frac{1}{\sqrt{x}(x+1)}$$

$$\frac{d}{dx} \left(2\arctan \sqrt{x}\right)=2\cdot\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=2\cdot\frac{1}{1+x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}(x+1)}$$

여기서 $\frac{d}{dx} \left(\arcsin \frac{x-1}{x+1}\right)=\frac{d}{dx} \left(2\arctan \sqrt{x}\right)$이므로, ${\arcsin} \frac{x-1}{x+1} = 2{\arctan} \sqrt{x} + C$임을 알 수 있다. (단, $C$는 상수)

여기서 위 식에 x에 0을 대입하여 C를 구하자.

$${\arcsin} (-1) = 2{\arctan}(0) + C$$

$$\therefore\,C={\arcsin} (-1) - 2{\arctan}(0) =-\frac{\pi}{2}-2\cdot0=-\frac{\pi}{2}$$

따라서 우리는 $\,{\arcsin} \frac{x-1}{x+1} = 2{\arctan} \sqrt{x} - \frac{\pi}{2}$가 성립함을 증명했다.